FACTORIZACIÓN

Caso # 1

Definición:

Cuadrado del primer término

Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.

Ejemplos:

EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)
8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)

El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

EJEMPLO 2: (Hay factor común entre las letras)

7x² + 11x³ - 4x⁵ + 3x⁴  - x⁸ = x². (7 + 11x - 4x³ + 3x² - x⁶)

El factor común es x^2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece.

EJEMPLO 3: (Hay factor común entre los números y entre las letras)

9x³ - 6x² + 12x⁵ - 18x⁷ = 3x². (3x - 2 + 4x³ - 6x⁵)

El factor común es 3x²: El MCD entre los números y la x elevada a la menor potencia.

EJEMPLO 4: (Con fracciones)
4/3 x - 8/9 x³ + 16/15 x⁷ - 2/3 x⁵ = 2/3 x. (2 - 4/3 x² + 8/5 x⁶ - x⁴)
El factor común es 2/3 x: El MCD del numerador sobre el MCD del denominador, y la x a la menor potencia.

EJEMPLO 5: (Con varias letras diferentes)
9x²ab - 3xa²b³ + x²az = xa. (9xb - 3ab² + xz)

El factor común es xa. Las 2 letras que están en todos los términos, con la menor potencia con la que aparecen.

Ejercicios por hacer:

1) a²b - ab² =

  2) 6p²q + 24pq² =

  3) 12x³y - 48x²y² =

  4) 9m²n + 18 mn² - 27mn=

  

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Caso # 2

Definición:

 factor común

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).

EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)


4a  +  4b  +  xa  +  xb  =

4.(a + b)  +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).

EJEMPLO 2: ("Resultado desordenado")


4a +  4b  +  xb  +  xa =

4.(a + b) +  x.(b + a) =

4.(a + b) +  x.(a + b) =

     (a + b).(4 + x)

En el primer paso el "resultado" quedó "desordenado": (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los términos, ya que (b + a) es igual que (a + b)

EJEMPLO 3: (Con términos negativos)


4a  -  4b  +  xa  -  xb =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

     (a - b).(4 + x)

Si los "resultados" quedan iguales no hay problema.

EJEMPLO 4: (Con términos negativos y "Resultado desordenado")


4a  -  4b  -  xb  +  xa =

4.(a - b)  +  x.(-b + a) =

4.(a - b)  +  x.(a - b) =

      (a - b).(4 + x)

En el primer paso quedó desordenado, pero luego puedo cambiar el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)

EJEMPLO 5: (Resultados "opuestos")


4a  -  4b  -  xa  +  xb =

4.(a - b)  +  x.(-a + b) =

4.(a - b)  -  x.(a - b) =

       (a - b).(4 - x)

En el primer paso quedaron los signos opuestos para los dos términos. Pero en el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (lo que en realidad es Sacar Factor Común negativo)

Ejercicio para hacer:

 ax +bx +ay +by = (a+b)(x+y)

 3m^2 -6mn +4m -8n = (m-2n)(3m+4)

 a^2+ab+ax+bx = (a+b)(a+x)

ax-2bx-2ay+4by = (a-2b)(x-2y)

a^2x^2 -3bx^2 +a^2y^2 -3by^2 = (a^2 -3b)(x^2 +y^2)

Caso # 3 

Definición:
El polinomio es un cuadrado "perfecto"
Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x² y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)² 

Ejercicios resueltos:

EJEMPLO 1: (Términos positivos)

Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x² y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)² 

EJEMPLO 2: (Con el "1")

x² + 2x + 1 = (x + 1)²

x            1
    2.1.x
      2x

Recordemos que el "1" es cuadrado (de "1" y "-1"). Las bases son: x y 1.
La verificación de que es "perfecto" es 2.x.1 = 2x.
El resultado es (x + 1)²

EJEMPLO 3: (Con fracciones)


x²  +   8/3 x  +  16/9 = (x + 4/3)²

x                      4/3
      2. 4/3 . x
        8/3 x

La fracción 16/9 es cuadrado de 4/3. Las bases son x y 4/3.

EJEMPLO 4: (Con un término negativo)


x²   -  10x   +   25 = (x - 5)²

x                   (-5)
      2.(-5).x 
        -10x

Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)² también es 25. Y con (-5), la verificación del doble producto dá bien. El resultado es la suma de las bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))² , que es igual a (x - 5)².

EJEMPLO 5: (Desordenado)


 x     +     x²   +    1/4 = (x + 1/2)²

              x          1/2
 2.x.1/2
    x

No siempre están los dos cuadrados en los extremos. Las bases son "x" y "1/2", y el doble producto está en el primer término.


Ejercicios para hacer :
ab + ac + bd + dc = (ab + ac) (bd + dc)
2ab + 2a - b - 2ac + c - 1ax + bx + ay + by = (ax + ay) + (bx + by)
a^2 x^2 – 3bx^2 + a^2 y^2 – 3by^2
x^2 – a^2 + x – a^2 x

Caso # 4 

Definición
cubos perfectos,

Se reconocen los cubos perfectos, calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán las bases, Luego calculo:
el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda, el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segundo, Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el cuatrinomio dado, Si estos cálculos figuran en el trinomio dado, entonces decimos que es un Cuatrinomio Cubo Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas bases.

Ejercicios resueltos:

EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)

x³   +   6x²   +   12x   +   8  =  (x + 2)³

x                                  2
         3.x².2     3.x.2²
          6x²         12x


Las bases son x y 2.
Los dos "triple-productos" dan bien (6x² y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".

EJEMPLO 2: (Con términos negativos)

x³   -   9x²   +   27x   -   27  =  (x - 3)³x                                 -3
     3.x².(-3)    3.x.(-3)²        -9x²          27x


Las bases son x y -3, ya que (-3)³ es igual a -27.
Y los dos "triple-productos" dan bien.
El resultado es (x + (-3))³, que es igual a (x - 3)³

EJEMPLO 3: (Con todos los términos negativos)

-x³    -    75x    -    15x²    -    125 = (-x - 5)³

-x                                          -5
       3.(-x)².(-5)   3.(-x).(-5)² 
            -15x²        -75x


Las bases son -x y -5, ya que (-x)³ es igual a -x³, y (-5)³ es igual a -125. Los dos "triple-productos" dan con los signos correctos. El resultado es
(-x + (-5))³, que es igual a (-x -5)³.

EJEMPLO 4: (Con fracciones)

x³   +   3/2 x²   +   3/4 x   +   1/8 = (x + 1/2)³

x                                        1/2
        3.x². 1/2    3.x.(1/2)²
          3/2 x²       3/4 x

Las bases son x y 1/2, ya que (1/2)³ es igual a 1/8.EJEMPLO 5: (Con un número multiplicando a la x³)

64x³  +  144x²  +  108x  +  27 = (4x + 3)³

4x               3.(4x)².3   3.4x.3 144x²     108x

Las bases son 4x y 3. Porque (4x)³ es igual a 64x³, y 3³ es igual a 27. El número que multiplica a la x³ debe ser también un cubo para que todo el término sea cubo. Y el 64 es cubo de 4.

Ejercicios a resolver:

1) 2x² + 3x – 2 =

2) 3x² - 5x – 2 =

3) 6x² + 7x + 2 =

4) 5x² + 13x – 6 =

5) 6x² - 6 – 5x=

Caso # 5 

Definición:
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

Al multiplicar (a+ b)(a - b) obtenemos la identidad

(a + b)(a - b) = a² - b²

un resultado que puede ser verbalmente expresado como

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual a la diferencia de sus cuadrado.

Recíprocamente, la diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de las dos

cantidades.

Ejercicios resueltos:

EJEMPLO 1: (Fácil)

x² - 9 = (x + 3).(x - 3)

x     3 

Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".

EJEMPLO 2: (Con dos letras)

x² - y² = (x + y).(x - y)

x     y

Las dos bases son letras 

EJEMPLO 3: (Con el "1")

b² - 1 = (b + 1).(b - 1)

b     1

No hay que olvidar que el número 1 es un cuadrado.

EJEMPLO 4: (Con fracciones)

x² - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)

x      3/5

9/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25 también (de 5)

EJEMPLO 5: (Con potencias distintas de 2)

x⁶ - 4 = (x³ + 2).(x³ - 2)

x³   2

x⁶ es también un cuadrado, es el cuadrado de x³. Ya que (x³)² es igual a x⁶

^{Ejercicios para resolver:}

1) (x+y)²- a²=

2) 4 - (a + 1)²=

3) 9 - (m + n)² =

4) (m - n)² - 16 =

5) (x - y)² - 4z² =

Videos de aspa:

Caso#6
Definición:

Trinomio de la forma x² + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

 ^{EJERCICIOS RESUELTOS:} 

Ejercicio #1

x² + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

a⁴ - 7a² - 30 = (a² - 10)(a² + 3)

m² + abcm - 56a²b²c² = (m + 8abc)(m - 7abc)

Ejercicio # 2

25x² + 30x + 9 

25x² + 30x + 9 
625x² + 30[25]x + 225 

(25x……) (25x……) 

(25x + 15) (25x + 15) = (5x + 3) (5x + 3) 

Ejercicio#3

(Resta de Potencias Pares)

b⁴ - 81 = (b - 3).(b³ + 3b² + 9b + 27) ó (b + 3).(b³ - 3b² + 9b - 27)

b      3

En las restas de potencias pares se puede dividir tanto por la resta como por la suma de las bases. 

Ejercicio#4

x⁷ + 1 = (x + 1).(x⁶ - x⁵ + x⁴ - x³ + x² - x + 1)

x     1

No hay que olvidar que el "1" puede ser "cualquier potencia". Así que siempre puede ser tomado como base de cualquier potencia. 

Ejercicio#5

(Con dos letras)

x⁷ - y⁷ = (x - y).(x⁶ + x⁵y + x⁴y² + x³y³ + x²y⁴ + xy⁵ + y⁶)

x     y

La división por Ruffini se complica un poco en estos casos. Hay que tratar a la segunda letra como si fuera un número.

Ejercicios para resolver :

x^2 + 6x – 216

m^2 – 2m – 168

x^2 + x – 132

 a^2 – 13a + 40

X^2 + 5x + 6

                          

Video :

Aspa:

CASO # 7

Suma o diferencia de potencias a la n

La suma de dos números a la potencia n, aⁿ +bⁿ se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):

EJERCICIOS RESUELTOS :

Ejercicio#1

(Con coeficiente principal distinto de "1")
2x² - 3x + 1 = 2.(x - 1).(x - 1/2)
En este ejemplo, el coeficiente principal es 2. No hay que olvidarse de ponerlo en la factorización.

Ejercicio#2 

(Con fracciones)
1/3 x² - 1/3 x - 2 = 1/3. (x - 3).(x + 2)
Los coeficientes son fracciones. Eso puede complicar un poco el cálculo de las raíces. 

Ejercicio#3

("No tiene solución en Reales")
x² - 6x + 10 = No se factoriza

Cuando aplico la "fórmula de la cuadrática", queda una raíz cuadrada de un número negativo, que no tiene solución en el Conjunto de los Números Reales. Entonces un ejemplo así no se factoriza.

Ejercicio#4

("Raíz repetida"

1/3 x² - 1/3 x + 1/12= 1/3. (x - 1/2).(x - 1/2) = 1/3. (x - 1/2)²

Cuando aplico la "fórmula de la cuadrática", obtengo un sólo resultado. Es que en realidad el Trinomio es "cuadrado perfecto", y podría factorizarse por el Tercer Caso, pero aplicando primero el Primer Caso: Factor Común (en este ejemplo en particular). 

Ejercicio#5

("Bicuadrada")
x⁴ - 5x² + 4 = (x - 1).(x + 1).(x - 2).(x + 2)
Con este Caso de Factoreo se pueden factorizar también algunos polinomios de cuarto grado, que cumplen con ciertas condiciones: un término de grado 4, un término de grado 2 y un término independiente. También se usa la fórmula resolvente de las ecuaciones cuadráticas, pero se encuentran 4 raíces.

Ejercicios a resolver:

ax^2 +bx +c:

 6x^2 -7x -3

20x^2 +7x -6

2x^2 +3x -2

3x^2 -5x -2

                                        

Video:

Video Aspa:

                           

Caso # 8

Cubo perfecto de binomios 

Para reconocerlo se deben tomar en cuenta los siguientes puntos.

• Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra.

• Dos de sus términos, el 1º (a) y el 4º (b), deben poseer raíz cúbica exacta.

• El segundo termino debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer termino por la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b)].

• El tercer termino debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del primer termino por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino [3(a)(b)].

• El segundo y el cuarto termino deben tener el mismo signo y puede ser positivo o negativo, el primer y tercer termino siempre son positivos (si el primer y tercer termino son negativos realizar factor común con el factor -1).

• Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de la suma de dos cantidades (a + b), si hay términos negativos el resultado es el cubo de la diferencia de dos cantidades (a – b).

EJERCICIOS RESUELTOS:

Ejercicio # 1

8x^3 +12x^2 +6x +1

Se extrae la raíz cúbica del 1° y 4° términos:

raíz cúbica de  8x^3 = 2x       y    raíz cúbica de  1 = 1 

 Se comprueba el 2° y 3° término de la expresión:

2° término:   3(2x)^2(1) = 3(4x^2)(1) = 12x^2

3° término:  3(2x)(1)^2 = 3(2x)(1) = 6x

Como todos los términos de la expresión son positivos la el binomio resultante de la expresión es:

8x^3 +12x^2 +6x +1 = (2x +1)^3

Ejercicio # 2

m^3  +3m^2n  +3mn^2  +n^3

Raíz cúbica de m^3 = m       ;       n^3 = n

2° término:  3(m)^2(n) = 3(m^2)(n) = 3m^2n  

(m+n)^3

Ejercicio#3

a^3  +3a^2  +3a  +1

3(a)^2(1) = 3(a^2)(1) = 3a^2

3(a)(1)^2 = 3(a)(1) = 3a 

a^3  +3a^2  +3a  +1 = (a+1)^3  

Ejercicio#4

8x^3 +12x^2 +6x +1

 8x^3 = 2x   

3(2x)^2(1) = 3(4x^2)(1) = 12x^2

3(2x)(1)^2 = 3(2x)(1) = 6x

8x^3 +12x^2 +6x +1 = (2x +1)^3

Ejercicio#5

27 -27x +9x^2 -x^3

3(3)^2(x) =3(9)(x) = 27x

3(3)(x)^2 = 3(3)(x^2) = 9x^2

27 -27x +9x^2 -x^3  =  (3 -x)^3

Resuelve:

a³ + 3 a²b  + 3 a b²  + b³ =

3x^2 -5x -2

(x - y)² - 4z² =

8 - 36 X  + 54 X²  - 27 X³ =

ax^2 +bx +c:

                                  

                                  aspa:

Caso # 9

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

Trinomio de la Forma; ax² + bx + c

Factorar 6x² - x – 2 = 0

Pasos: 

➊ Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación

6x² - x – 2

36x² - [ 6 ] x – 12



➋ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente

(6x.......) (6x.......)

EJEMPLO #1

 (Factor Común y Diferencia de Cuadrados)

2x² - 18 =

2.(x² - 9) =
    x    3

2.(x + 3).(x - 3) 

EJEMPLO 2: (Factor Común y Trinomio Cuadrado Perfecto)

3x² + 30x + 75 =

3.(x² + 10x + 25) =
     x                  5 
             2.x.5 

3.(x + 5)² 


Aquí primero se puede sacar factor común "3", y luego aplicar el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto.

EJEMPLO 3: (Factor Común y Suma o Resta de Potencias de Igual Grado)

5x³ + 40 =

5.(x³ + 8) =
     x      2

5.(x + 2).(x² - 2x + 4)

EJEMPLO 4: (Factor Común y Factor Común en Grupos)

30a⁴x - 15a³xz - 10a³y + 5a²yz =

5a².(6a²x - 3axz - 2ay + yz) =

5a².[3ax(2a - z) + y.(-2a + z)] =

5a².[3ax(2a - z) - y.(2a - z)] =

5a².(2a - z).(3ax - y) =

EJEMPLO 5: (Factor Común y Séptimo Caso)

2ax² + 6ax - 20a =

2a.(x² + 3x - 10) =  

2a.(x - 2).(x + 5)

     

RESUELVE :

x^3 + 1=

8x^3 – 125

a^3 + 27 = (a + 3) [a^2 – 3(a) + (3)^2]

a^3 b^3 – x^6 = (ab – x^2) [(ab)^2 + abx^2 + (x^2)^2]

27m^3 + 64n^9 = (3m + 4n^3) [(3m)^2 – 3m(4n^3) + (4n^3)^2]

Caso # 10

SUMA O DIFERENCIA DE POTENCIAS IMPARES IGUALES

Cuando no es factor común ó diferencia de cuadrado perfectos se prueba la suma o diferencia de potencias impares iguales, la primera regla es que sea suma ó resta, que tengan potencias iguales pero impares.

EJEMPLO 1: (Diferencia de Cuadrados y Diferencia de Cuadrados)

x⁴ - 81 =
x²     9

(x² + 9).(x² - 9) =
                 x     3

(x² + 9).(x + 3).(x - 3)

EJEMPLO 2: (Suma o Resta de Potencias de Igual Grado y Factor Común en Grupos)

x⁴ - 81 =
x       3

(x - 3).(x³ + 3x² + 9x + 27) 

(x - 3).[x².(x + 3) + 9.(x + 3)]

(x - 3).(x + 3).(x² + 9)

EJEMPLO 3: (Factor Común en Grupos y Diferencia de Cuadrados)

x³ + x² - 9x - 9 =

x².(x + 1) + 9.(-x - 1) =

x².(x + 1) - 9.(x + 1) =

(x + 1).(x² - 9) =

(x + 1).(x + 3).(x - 3)

EJEMPLO 4: (Factor Común en Grupos y Suma o Resta de Potencias...)

x⁴ + ax³ + 8x + 8a =

x³.(x + a) + 8.(x + a) =

(x + a).(x³ + 8) =
               x      2

(x + a).(x + 2).(x² - 2x + 4)

EJEMPLO 5: (Trinomio Cuadrado Perfecto y Diferencia de Cuadrados)

x⁴ - 2x² + 1 =
x²              -1
     2.x².(-1)

(x² - 1)² =
  x      1

[(x + 1).(x - 1)]² =

(x + 1).(x - 1).(x + 1).(x - 1)

(x + 1)².(x - 1)²

RESOLVER:

1/2 x⁴ + 3/4 x³ - 1/2 x² - 3/4 x =

x³ + y³ + 2x + 2y = 

x³ + 2x² + 2xy + 2y² - y³ = 

x⁴ -16y⁴ - 4x³y + 16xy³ =

x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x + 1 =